Πρόσθεση ταχυτήτων

Ένα από τα προβλήματα που προέκυψαν από τη θεωρία του Νεύτωνα είναι το πρόβλημα της πρόσθεσης των ταχυτήτων, το οποίο ήρθε το 1905 να λύσει η θεωρία της ειδικής σχετικότητας του Einstein.

Με τα παρακάτω σχήματα θα γίνει κατανοητό το πρόβλημα της πρόσθεσης των ταχυτήτων.

Στο παραπάνω σχήμα έχουμε το σύστημα αναφοράς του οδηγού στο κόκκινο αυτοκίνητο. Ως προς αυτό το σύστημα αναφοράς, το μπλε αυτοκίνητο ταξιδεύει προς τα εμπρός με ταχύτητα Uμπλε και κάποια αντικείμενα (π.χ. μπάλες) πετιούνται από το μπλε αυτοκίνητο με ταχύτητα V όπως την αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής στο κόκκινο αυτοκίνητο.

Τώρα βλέπουμε το σύστημα αναφοράς του οδηγού του μπλε αυτοκινήτου. Ως προς αυτό το σύστημα αναφοράς, τα αντικείμενα πετιούνται προς τα εμπρός από το παράθυρό του με ταχύτητα V’ και το κόκκινο αυτοκίνητο πηγαίνει προς τα πίσω.

Σύμφωνα με το Νευτώνειο μοντέλο οι οδηγοί του κόκκινου και μπλε αυτοκινήτου, μετρούν ακριβώς τις ίδιες χρονικές διάρκειες και μετατοπίσεις.

Ως προς το σύστημα αναφοράς του οδηγού του μπλε αυτοκινήτου, σε χρόνο Τ η απόσταση της μπάλας από το μπλε αυτοκίνητο είναι Xμ=V’·T
                 
Ως προς το σύστημα αναφοράς του οδηγού του κόκκινου αυτοκινήτου στον ίδιο χρόνο T, το μπλε αυτοκίνητο έχει διανύσει απόσταση Xα=Uμ·T

Έτσι λοιπόν για τον οδηγό του κόκκινου αυτοκινήτου η συνολική απόσταση που διανύει η μπάλα ισούται με την απόσταση που διήνυσε το μπλε αυτοκίνητο από το κόκκινο αυτοκίνητο συν την απόσταση που η μπάλα διήνυσε ως προς το μπλε αυτοκίνητο, δηλαδή:

Χ = Xα + Xμ = Uμ.T + V’. T = (Uμ + V’ ). T   

Οπότε προκύπτει η σχέση : V = Uμ + V’.

Αν για παράδειγμα το μπλε αυτοκίνητο κινείται με ταχύτητα Uμ=20 km/h και ο οδηγός του μετράει την ταχύτητα της μπάλας V’=40 km/h, τότε από τον πιο πάνω τύπο βρίσκουμε ότι η ταχύτητα της μπάλας που μετράει ο οδηγός του κόκκινου αυτοκινήτου V=60 km/h. Στην περίπτωση όμως που εφαρμόσουμε τον τύπο του Νεύτωνα για μεγάλες τιμές ταχύτητας υπάρχει πρόβλημα.

Αν υποθέσουμε τώρα ότι  και προκύπτει ότι .
Αυτό όμως έρχεται σε αντίθεση με την παραδοχή ότι η ταχύτητα του φωτός παραμένει σταθερή για όλους τους αδρανειακούς παρατηρητές.
Ενώ σύμφωνα με το Νεύτωνα το άθροισμα δύο ταχυτήτων V1,  V2 κάνει , στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας το άθροισμά τους είναι: