Διαστολή του χρόνου

Έστω ένα σύστημα αναφοράς, π.χ. ένας πύραυλος ύψους h που κινείται προς τα επάνω με επιτάχυνση g και ένα ρολόι στο επάνω μέρος του πυραύλου, που στέλνει φωτόνια προς το πάτωμα με σταθερό ρυθμό.

Αν ο πύραυλος επιταχύνεται προς τα επάνω με g, τότε το δάπεδο μέσα στο χρόνο που χρειάζεται ένα φωτόνιο για να φτάσει από την οροφή στο δάπεδο, θα έχει αποκτήσει ταχύτητα U=g·h/c
όπου c είναι η ταχύτητα του φωτός. 
Σύμφωνα με το φαινόμενο Doppler για το φως, το φως όταν θα φτάσει στο πάτωμα, θα έχει υποστεί μια μετατόπιση συχνότητας προς το μπλε που δίνεται σε πρώτη προσέγγιση από τη σχέση: Δf=u·f/c ή Δf=g·h·f/c2 ή Δf/f=g·h/c2
όπου f είναι η συχνότητα των φωτονίων που στέλνει το ρολόι-πηγή της οροφής. 
Ο παρατηρητής του δαπέδου, αν διαθέτει ένα πανομοιότυπο ρολόι με αυτό της οροφής είναι αναγκασμένος να συμπεράνει ότι το ρολόι της οροφής τρέχει με γρηγορότερο ρυθμό από το δικό του, κι έτσι εξηγεί την υψηλότερη συχνότητα των φωτονίων που λαμβάνει.
Αν λοιπόν υποτεθεί ότι η επιτάχυνση διαρκεί κάποιο χρονικό διάστημα t σύμφωνα με το ρολόι της οροφής, ο παρατηρητής του δαπέδου θα αντιλαμβάνεται ότι το ρολόι της οροφής έχει προηγηθεί του δικού του κατά Δt σύμφωνα με τη σχέση: Δt/t = g·h/c2
Δηλαδή, αντιλαμβάνεται ότι το ρολόι της οροφής πηγαίνει πιο γρήγορα από το δικό του ή ότι το δικό του είναι πιο αργό. 
Αν επικαλεστούμε τώρα την αρχή της ισοδυναμίας καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι και η βαρύτητα φέρνει το ίδιο αποτέλεσμα. Ένας παρατηρητής στο δάπεδο ενός ακίνητου πυραύλου που βρίσκεται ακίνητος στο πεδίο βαρύτητας της Γης, θα αντιλαμβάνεται ότι το δικό του ρολόι πάει πίσω σε σχέση με ένα ρολόι που βρίσκεται υψηλότερα στην κορυφή του πυραύλου.
Μάλιστα αν θυμηθούμε ότι η διαφορά δυναμικού μεταξύ δύο σημείων με υψομετρική διαφορά h σ' ένα π.χ. ομογενές πεδίο βαρύτητας δίνεται από τη σχέση: Δφ = g·h                   
τότε καταλήγουμε στη σχέση που δίνει τη διαστολή του χρόνου μέσα στο πεδίο βαρύτητας: Δt/t = Δφ/c2              
Η πειραματική επαλήθευση της μετατόπισης Doppler της συχνότητας του φωτός λόγω πεδίου βαρύτητας, και συνεπώς της επιβεβαίωσης της αρχής της ισοδυναμίας, έγινε ήδη από τη δεκαετία του 1960.