ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ - Σειρά Ασκήσεων 10

(Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας)

Ημερομηνία παράδοσης: Παρασκευή 19/05/2000

1. Ένα διαστημόπλοιο μήκους 30m ταξιδεύει με ταχύτητα 0.6c και περνάει μπροστά από έναν δορυφόρο. Τα ρολόγια του συστήματος S του διαστημόπλοιου και S του δορυφόρου συγχρονίζονται στα αντίστοιχα συστήματα αναφοράς έτσι ώστε t= t = 0, τη στιγμή που το μπροστινό άκρο του διαστημόπλοιου, F, περνάει μπροστά από το πίσω άκρο του δορυφόρου, Α. Θεωρήστε το σημείο F ως αρχή (x=0) του άξονα x του συστήματος S και το σημείο Α ως αρχή (x =0) του άξονα x του συστήματος S. Εκείνη τη στιγμή, ένα φωτεινό σήμα εκπέμπεται από το σημείο F του διαστημόπλοιου.

α) Ποιό είναι το μήκος του διαστημόπλοιου όπως το μετράει ένας παρατηρητής που βρίσκεται στον δορυφόρο;

β) Τι χρόνο δείχνει το ρολόι του παρατηρητή στο σημείο Α του δορυφόρου όταν το πίσω άκρο του διαστημόπλοιου περνάει από μπροστά του;

γ) Όταν το φως από το σήμα φτάνει στο πίσω μέρος του διαστημόπλοιου, τι χρόνο, t₁ δείχνει το ρολόι του παρατηρητή που βρίσκεται στο πίσω μέρος του διαστημόπλοιου;

δ) Αντίστοιχα, τι χρόνο, t₁, δείχνει το ρολόι του παρατηρητή του δορυφόρου όταν το φως φτάνει στο πίσω μέρος του διαστημόπλοιου;

2. Μία ράβδος μήκους L₀ κινείται με ταχύτητα u κατά μήκος της οριζόντιας διεύθυνσης. Η ράβδος σχηματίζει γωνία θ--₀ ως προς τον άξονα x.

α) Αποδείξτε ότι: L=L₀[1-(u/c)² cos²θ₀]^1/2 είναι το μήκος της ράβδου όπως μετριέται από έναν ακίνητο παρατηρητή.

β) Αποδείξτε ότι η γωνία που σχηματίζει η ράβδος με τον άξονα x δίνεται από την έκφραση tanθ=γ tanθ₀. Αυτά τα αποτελέσματα δείχνουν ότι η ράβδος συστέλλεται και περιστρέφεται.

(Serway, κεφ. 39, άσκηση 48)

3. Αποδείξετε ότι η ποσότητα

(x)²+(y)²+(z)²-(ct)² = (x')²+(y')²+(z')²-(ct')²

μένει αναλλοίωτη κάτω από μετασχηματισμούς Lorentz. Συμπεράνατε από αυτό πως ένα σφαιρικό κύμα φωτός στο κενό παραμένει σφαιρικό και διαδίδεται με την ίδια ταχύτητα και στα δύο συστήματα αναφοράς.

4. Σε ένα σύστημα αναφοράς, το γεγονός 1 συμβαίνει σε χρόνο t₁=0s και στη θέση x₁=0m, ενώ το γεγονός 2 συμβαίνει σε t₂=1.5*10^-3s και x₂=4*10⁵m. Υπάρχει δεύτερο σύστημα αναφοράς στο οποίο τα γεγονότα 1και 2 να συμβαίνουν στην ίδια θέση αλλά σε διαφορετικούς χρόνους; Αν ναι, προσδιορίστε την κίνηση του δεύτερου συστήματος σε σχέση με το πρώτο. Αν όχι, ποιό είναι το σύστημα στο οποίο τα δύο γεγονότα έχουν την ελάχιστη δυνατή απόσταση στον χώρο; (Υπόδειξη: Χρησιμοποιείστε αναλλοίωτες ποσότητες).

5. Ένα τραίνο έχει ιδιομήκος L₀, ίσο με το ιδιομήκος ενός τούνελ. Όταν κινείται με ταχύτητα v ως προς το τούνελ, οι μηχανικοί του τούνελ κλείνουν ταυτόχρονα τις πόρτες του τούνελ ακριβώς τη στιγμή που η μπροστινή μεριά του τραίνου φτάνει στην έξοδο του τούνελ.

α) Να βρεθούν οι χρόνοι που κλείνουν οι πόρτες για τους παρατηρητές μέσα στο τραίνο.

β) Σε ποιούς χρόνους ως προς τους παρατηρητές του τούνελ κλείνουν οι πόρτες αν κλείσουν ταυτόχρονα οι επιβάτες του τραίνου τις δύο πόρτες τη στιγμή που βγαίνει το τραίνο από το τούνελ. Σχολιάστε την άποψη των παρατηρητών του τούνελ ότι το τραίνο χωράει μέσα στο τούνελ ενώ οι παρατηρητές του τραίνου λένε πως δε χωράει.

Πάρτε για αρχή των χρόνων και για τα δύο συστήματα τη στιγμή που το τραίνο μπαίνει στο τούνελ.