ΦΥΣΙΚΗ ΙΙ - Σειρά Ασκήσεων 8

(Άτομο του υδρογόνου)

Ημερομηνία παράδοσης: Παρασκευή 14/04/2000

1. Θεωρήστε το ηλεκτρόνιο του ατόμου του υδρογόνου.

α) Για το ηλεκτρόνιο στη βασική του στάθμη, να δειχθεί ότι μία καλώς ορισμένη τροχιά (δηλαδή, σε μία μέτρηση της ορμής και της θέσης του ηλεκτρονίου το σχετικό σφάλμα της ορμής και της θέσης να είναι πολύ μικρότερα της μονάδας) είναι ασύμφωνη με την αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg. Τι σημαίνει αυτό για το ρόλο της μέτρησης στο σύστημα; Για παράδειγμα, αν γινει μια μέτρηση της ορμής, p με σφάλμα Δp=0.1p, τι απροσδιοριστία θα έχει η θέση;

β) Θεώρησε το ηλεκτρόνιο σε τροχιά κβαντικού αριθμού n. Δείξε ότι αν n>>1 μία καλώς ορισμένη τροχιά δεν αντιτίθεται στην αρχή της απροσδιοριστίας του Heisenberg. Είναι το αποτέλεσμά σας σύμφωνο με την αρχή της αντιστοιχίας; Σχολιάστε.

2. Δίνεται η κυματοσυνάρτησης της 3s κατάστασης του ατόμου του υδρογόνου.

ψ _3s= Α [1 - 2r/(3a₀) + 2r²/(27a₀²) ] e^-r/(3ao)

α) Να κανονικοποιηθεί η κυματοσυνάρτηση.

β) Δείξτε ότι ικανοποιεί την σφαιρικά συμμετρική εξίσωση Schrodinger.

γ) Για την 3s κατάσταση να σχεδιαστεί η ψ(r) και η ακτινική πυκνότητα πιθανότητας, P(r). Ποιά είναι η πιθανότερη τιμή του r; (η απάντηση να δοθεί συναρτήσει του α₀)

δ) Ποιά είναι η μέση τιμή του r; (η απάντηση να δοθεί συναρτήσει του α₀)

ε) Ποιά είναι η τιμή της αβεβαιότητας, Δr;

3. Θεωρήστε το άτομο του υδρογόνου στην κατάσταση 2s.

α) Για ποιά τιμή του r εξισώνεται η ολική ενέργεια Ε με τη δυναμική ενέργεια U(r) του ατόμου; Εκφράσετ την απάντησή σας συναρτήσει του α₀. Αυτή η τιμή του r ονομάζεται κλασικό σημείο επιστροφής.

β) Όταν το r είναι μεγαλύτερο από το κλασσικό σημείο επιστροφής ισχύει E<U(r) και από κλασικής σκοπιάς το άτομο δεν μπορεί να εισέλθει στην περιοχή αυτή, αφού η κινητική του ενέργεια δεν μπορεί να γίνει αρνητική. Υπολογίστε την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε αυτήν την κλασικά απαγορευμένη περιοχή.