Quantum Field theory I

Κβαντική Θεωρία Πεδίου Ι

Θέματα

Matthew D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model, Κεφ. 8.1-8.6

Εξάσκηση

Οι παρακάτω ασκήσεις, για όσους είναι εγγεγραμμένοι στο μάθημα, θα παραδοθούν την Τετάρτη 06/12 στο μάθημα. Κάθε άσκηση να είναι σε ξεχωριστό σετ χαρτιών και με τη σειρά που δίνονται παρακάτω. Οι ασκήσεις θα πρέπει να είναι χειρόγραφες.

Να αποδείξετε τις σχέσεις (8.24), (8.26), (8.27) στο Schwartz.
Να δείξετε ότι ο πίνακας της σχέσης (8.83) είναι αναπαράσταση μετασχηματισμού Lorentz. Να υπολογίσετε τη δράση του πάνω στην ορμή με συνιστώσες $p_\mu=(E,0,0,p_z)$ και $p_\mu=(E,0,0,Ε)$. Τι παρατηρείτε; Να δείξετε τη σχέση (8.84).
Complex Scalar Field: Θεωρήστε το μιγαδικό βαθμωτό πεδίο $$ \phi (x) = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\left(a_p {\rm e}^{-i px}+b^\dagger_p {\rm e}^{ i px}\right) \, ,\qquad \phi^\dagger(x) = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\left(a^\dagger_p {\rm e}^{ i px}+b_p {\rm e}^{-i px}\right) $$ που η κβάντωσή του ορίζεται από τις μή τετριμμένες σχέσεις μετάθεσης (όλες οι υπόλοιπες είναι 0) $$ [a_k,a^\dagger_p]=(2\pi)^3\delta^{(3)}(\vec k-\vec p) \, ,\qquad [b_k,b^\dagger_p]=(2\pi)^3\delta^{(3)}(\vec k-\vec p) \, , $$ και $$ a^\dagger_p\ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\ket{\vec p,+}\, ,\qquad b^\dagger_p\ket{0} = \frac{1}{\sqrt{2\omega_p}}\ket{\vec p,-}\, , $$ που δημιουργούν ένα ελεύθερο σωμάτιο θετικού φορτίου και ενός αντισωμάτιου αρνητικού φορτίου. Η Langrangian density δίνεται από $$ {\cal L}(x) = \partial_\mu \phi^*(x) \partial_\mu\phi(x) - m^2 \phi^*(x)\phi(x)\, . $$
1. Δείξτε ότι $\bra{+ \vec p} \phi^\dagger(\vec x,0)\ket{0} = {\rm e}^{ -i \vec p\cdot \vec x}$ και $\bra{- \vec p} \phi^\dagger(\vec x,0)\ket{0} = 0$. Δείξτε ότι $\bra{- \vec p} \phi (\vec x,0)\ket{0} = {\rm e}^{ -i \vec p\cdot \vec x}$ και $\bra{+ \vec p} \phi^\dagger(\vec x,0)\ket{0} = 0$. Συμπεράνετε ότι το $\phi^\dagger(\vec x,0) $ δημιουργεί ένα σωμάτιο στή θέση $\vec x $ και πως το $\phi (\vec x,0) $ δημιουργεί ένα αντισωμάτιο στή θέση $\vec x $.
2. Να υπολογίσετε τις συζυγείς ορμές $\pi(x), \pi^*(x) $ των $ \phi(x), \phi^*(x)$ και τη Hamiltonian density και να δώσετε το ανάπτυγμά τους σε τελεστές δημιουργίας/καταστροφής.
3. Να εκφράσετε τη Hamiltonian $ H= \int d^3 x{\cal H}(x) $ συναρτήσει των τελεστών δημιουργίας καταστροφής. Ερμηνεύστε το αποτέλεσμα.
4. Να υπολογίσετε τους μεταθέτες ίσων χρόνων $[\phi(\vec x,0),\pi(\vec y,0)], [\phi(\vec x,0),\dot\phi(\vec y,0)], [\phi(\vec x,0),\phi^\dagger(\vec y,0)]. $
5. Θεωρήστε τον τελεστή φορτίου $ Q = \int d^3 x j_0(x) = i \int d^3 x : \left(\phi^\dagger(x)\dot\phi(x) - \phi(x)\dot\phi^\dagger(x)\right) : $ και υπολογίστε τον συναρτήσει των τελεστών δημιουργίας καταστροφής. Ερμηνεύστε το αποτέλεσμα.
6. Υπολογίστε το $\bra{0}T\left\{ \phi(x) \phi(y)\right\} \ket{0}$ καθώς και τον διαδότη $\bra{0}T\left\{ \phi^\dagger(x) \phi(y)\right\} \ket{0} $. Ερμηνεύστε το αποτέλεσμα.