Κβαντική Θεωρία Πεδίου Ι

---

Θέματα

• Matthew D. Schwartz, Quantum Field Theory and the Standard Model, Κεφ. 2, Παραρτήματα Α.1 και Α.2.

Εξάσκηση

Οι παρακάτω ασκήσεις, για όσους είναι εγγεγραμμένοι στο μάθημα, θα παραδοθούν την Τετάρτη 25/10 στο μάθημα. Κάθε άσκηση να είναι σε ξεχωριστό σετ χαρτιών και με τη σειρά που δίνονται παρακάτω. Οι ασκήσεις θα πρέπει να είναι χειρόγραφες.

1. Schwartz, άσκηση 2.6
2. Schwartz, άσκηση 2.7 με το επί πλέον ερώτημα:
   Δείξτε ότι \( a^\dagger \ket{z} = (\frac{\partial}{\partial z}+\frac{z^*}{2})\ket{z} \)
   Προσοχή, να πάρετε \(\braket{z}{z} = 1\)
3. Υπολογίστε τις χρονικές παραγώγους \( \dot a_p = i [H_0,a_p] \), \( \dot a_p\dagger = i [H_0,a_p\dagger] \).
4. Δείξτε ότι \( [\pi(\vec x),\pi(\vec y)]=0 \).
5. Θεωρήστε τους τελεστές ορμής \( P_j = \int d^3 x\, \pi(x) \partial_j \phi(x) \). Δείξτε ότι, για ίσους χρόνους, \( [ P_j,\phi(x) ] = -i \partial_j\phi(x) \) και \( [ P_j,\pi (x) ] = -i \partial_j\pi (x) \). Μετά, δείξτε ότι για κάθε συνάρτηση \( F(x) = F( \phi(x),\pi(x) ) \) που αναπτύσσεται σε σειρές ως προς \( \phi(x),\pi(x) \) ότι ισχύει: $$ [ P_j, F(x) ] = -i \partial_j F(x) $$ Τότε, μαζί με τη σχέση \( [ H, F(x) ] = -i \partial_t F(x) \) και τον ορισμό \( P_\mu = (H,\vec P) \), έχουμε ότι \([ P_\mu, F(x) ] = -i \partial_\mu F(x) \)